دیاگرام اشکال هندسی
| |

محیط و مساحت تمام اشکال هندسی

🔍 مقدمه

هندسه یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است که به مطالعه اشکال و ویژگی‌های فضایی می‌پردازد. در این مقاله به بررسی محیط (اندازه دور شکل) و مساحت (اندازه سطح شکل) می‌پردازیم.محیط و مساحت اشکال هندسی در مبحث هندسه است و هندسه خود زیر مجموعه درس ریاضیات میباشد .

✨ مفاهیم پایه

  • نقطه: موقعیتی در فضا بدون ابعاد. و تنها یک موقعیت در محور مختصات است.
  • خط: یک بعدی (فقط طول) و عرض معنا ندارد
  • صفحه: دو بعدی (طول و عرض) . بر روی صفحه ای تخت و بدون ضخامت قرار می گیرند .
  • جسم فضایی: سه بعدی (طول، عرض و ارتفاع)

در این درس به مباحث و موضوعات زیر پرداخته میشود .

  • تعریف اشکال هندسی
  • محیط اشکال هندسی
  • مساحت اشکال هندسی
  • حجم اشکال

نکته : در فرمول های زیر * نماد ضرب و / نماد تفسیم است

📌 نمادهای ریاضی

نمادمعنی
×ضرب
÷تقسیم
πعدد پی (~3.14)

انواع اشکال هندسی

  • اشکال هندسی دوبعدی یا مسطح
  • اشکال هندسی سه بعدی یا فضایی
دیاگرام اشکال هندسی
دیاگرام اشکال هندسی – محیط و مساحت اشکال هندسی


🔷 اشکال هندسی دو بعدی

🔄 تفاوت با اشکال سه بعدی

  • اشکال 2D ضخامت ندارند
  • اشکال 3D دارای حجم هستند
  • محاسبات اشکال 2D ساده‌تر است

📌 تعریف اشکال هندسی دو بعدی

اشکال دو بعدی به اشکالی گفته می‌شود که فقط طول و عرض دارند و می‌توان آنها را بر روی یک صفحه تخت (بدون ضخامت) نمایش داد.

🔷 انواع اشکال هندسی

نوع شکلابعادمثال‌ها
مسطح2 بعدیمربع، دایره، مثلث
فضایی3 بعدیمکعب، کره، استوانه

اشکال هندسی دو بعدی شامل موارد زیر هستند :

  • مربع
  • مستطیل
  • دایره
  • بیضی
  • مثلث
  • ذوزنقه
  • لوزی
  • متوازی الاضلاع
  • چند ضلعی

📐 تعریف مساحت و محیط اشکال هندسی

محیط چیست ؟

محیط به اندازه دور و اطراف اشکال هندسی گفته میشود .

مساحت چیست ؟

مساحت به اندازه درون و ناحیه داخل اشکال گفته میشود .

📐 تفاوت مساحت و محیط اشکال هندسی

  • محیط: اندازه دور شکل (یک بعدی)
  • مساحت: اندازه سطح شکل (دو بعدی)

📏 تعاریف پایه

مفهومتعریفواحد اندازه‌گیری
محیطاندازه کل دور یک شکلواحد طول (سانتی‌متر، متر)
مساحتاندازه سطح داخل شکلواحد سطح (سانتی‌متر مربع، متر مربع)

🎨 [تصویر اشکال هندسی دو بعدی با نام هر شکل]

نکته مهم: تمام اشکال دو بعدی را می‌توان با مختصات دکارتی (x,y) در صفحه نمایش داد.

📐 محیط و مساحت اشکال هندسی دو بعدی

تصویر اشکال هندسی دو یعدی
مساحت و محیط اشکال هندسی – تصویر اشکال هندسی دو بعدی

🔷 مربع

📌 تعریف:
چهارضلعی با چهار ضلع برابر و چهار زاویه ۹۰ درجه
🎯 ویژگی‌ها:

  • قطرها برابر و عمود بر هم
  • دارای ۴ محور تقارن

📏 فرمول‌ها:

مساحت = ضلع × ضلع → A = a²  
محیط = ۴ × ضلع → P = 4a

🔢 مثال:
مربعی با ضلع ۵ سانتی‌متر:

مساحت = ۵ × ۵ = ۲۵ cm²  
محیط = ۴ × ۵ = ۲۰ cm

🔶 مستطیل

📌 تعریف:
چهارضلعی با دو جفت ضلع برابر و زوایای ۹۰ درجه
🎯 ویژگی‌ها:

  • قطرها برابر
  • دارای ۲ محور تقارن

📏 فرمول‌ها:

مساحت = طول × عرض → A = l × w  
محیط = ۲ × (طول + عرض) → P = 2(l + w)

🔢 مثال:
مستطیل با ابعاد ۶×۴ سانتی‌متر:

مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴ cm²  
محیط = ۲ × (۶ + ۴) = ۲۰ cm

🔵 دایره

📌 تعریف:
مجموعه نقاط با فاصله یکسان از مرکز
🎯 اجزا:

  • شعاع (r): فاصله مرکز تا محیط
  • قطر (d): ۲r

📏 فرمول‌ها:

محیط = ۲πr یا πd → C = 2πr  
مساحت = πr² → A = πr²

🔢 مثال:
دایره با شعاع ۳ سانتی‌متر (π≈3.14):

محیط = ۲ × 3.14 × ۳ ≈ ۱۸.۸۴ cm  
مساحت = 3.14 × ۳² ≈ ۲۸.۲۶ cm²

📊 جدول مقایسه‌ای

شکلمحیطمساحت
مربع4a
مستطیل2(l+w)l×w
دایره2πrπr²

🎨 [تصویر مقایسه‌ای اشکال با فرمول‌ها]

💡 نکات طلایی:

  1. در دایره، قطر همیشه دو برابر شعاع است (d=2r)
  2. مربع نوع خاصی از مستطیل است که همه اضلاعش برابرند
  3. عدد π (پی) تقریباً برابر 3.14 یا 22/7 است

🔵 بیضی (Ellipse)

📌 تعریف و ویژگی‌ها

بیضی یک منحنی بسته و متقارن است که:

  • دارای دو قطر اصلی با اندازه‌های مختلف
  • قطر بزرگ (Major Axis): بلندترین قطر
  • قطر کوچک (Minor Axis): کوتاه‌ترین قطر
  • دو کانون (Foci) دارد که مجموع فاصله هر نقطه روی بیضی تا این دو کانون ثابت است

📏 فرمول‌های محاسبه

پارامترفرمولنمادها
مساحتπ × (نصف قطر بزرگ) × (نصف قطر کوچک)A = π × a × b
محیط (تقریبی)π × [3(a + b) – √((3a + b)(a + 3b))]

🔢 مثال محاسبه مساحت:
بیضی با:

  • قطر بزرگ (2a) = 10cm → a = 5cm
  • قطر کوچک (2b) = 6cm → b = 3cm
مساحت = 3.14 × 5 × 3 ≈ 47.1 cm²

🎯 نکات مهم:

  1. a همیشه نشان‌دهنده نصف قطر بزرگتر است
  2. b نشان‌دهنده نصف قطر کوچک‌تر است
  3. اگر a = b باشد، بیضی تبدیل به دایره می‌شود
  4. فرمول محیط بیضی تقریبی است (محاسبه دقیق نیاز به انتگرال دارد)

📊 مقایسه با دایره

ویژگیدایرهبیضی
تقارنکاملدو محوری
قطرهابرابرنابرابر
کانونیک نقطهدو نقطه

💡 کاربردها:

  • مدار سیارات (بیضی‌شکل)
  • طراحی لنزها و آینه‌ها
  • معماری و طراحی صنعتی

🔺 مثلث: انواع و فرمول‌های محاسبه

📌 تعریف مثلث

مثلث یک شکل هندسی سه‌ضلعی و مسطح است که:

  • از سه ضلع صاف تشکیل شده
  • سه زاویه داخلی دارد
  • مجموع زوایای داخلی آن همیشه ۱۸۰ درجه است
تصویر انواع مثلث
تصویر انواع مثلث

🔷 انواع مثلث

۱. مثلث متساوی‌الاضلاع

  • ویژگی‌ها:
  • سه ضلع برابر
  • سه زاویه ۶۰ درجه
  • سه محور تقارن
  • فرمول‌ها:
  • محیط: P = 3a
  • مساحت: A = (√3/4)a² یا (قاعده × ارتفاع)/۲

۲. مثلث متساوی‌الساقین

  • ویژگی‌ها:
  • دو ضلع برابر
  • دو زاویه برابر
  • یک محور تقارن
  • فرمول‌ها:
  • محیط: P = 2a + b
  • مساحت: A = (قاعده × ارتفاع)/۲

۳. مثلث قائم‌الزاویه

  • ویژگی‌ها:
  • یک زاویه ۹۰ درجه
  • وتر (بلندترین ضلع)
  • دو ساق (اضلاع کوتاهتر)
  • رابطه فیثاغورث: c² = a² + b²
  • فرمول‌ها:
  • مساحت: A = (ساق × ساق)/۲
  • محیط: P = a + b + c

۴. مثلث مختلف‌الاضلاع

  • ویژگی‌ها:
  • سه ضلع نابرابر
  • سه زاویه نابرابر
  • بدون محور تقارن
  • فرمول‌ها:
  • محیط: P = a + b + c
  • مساحت: A = (قاعده × ارتفاع)/۲

📏 فرمول‌های کلی مثلث

پارامترفرمولنمادها
محیطمجموع سه ضلعP = a + b + c
مساحت(قاعده × ارتفاع)/۲A = (b × h)/۲
قانون هرون√[s(s-a)(s-b)(s-c)]s = نصف محیط

🔢 مثال‌های محاسباتی

مثال ۱ (متساوی‌الاضلاع):

  • ضلع = ۶cm
  • ارتفاع ≈ ۵.۲cm
محیط = ۳ × ۶ = ۱۸cm
مساحت = (۶ × ۵.۲)/۲ ≈ ۱۵.۶cm²

مثال ۲ (قائم‌الزاویه):

  • ساق‌ها: ۳cm و ۴cm
  • وتر = ۵cm (با فیثاغورث)
مساحت = (۳ × ۴)/۲ = ۶cm²
محیط = ۳ + ۴ + ۵ = ۱۲cm

📊 جدول مقایسه‌ای

نوع مثلثاضلاعزوایاتقارن
متساوی‌الاضلاعسه ضلع برابرسه زاویه ۶۰°۳ محور
متساوی‌الساقیندو ضلع برابردو زاویه برابر۱ محور
قائم‌الزاویهیک زاویه ۹۰°
مختلف‌الاضلاعسه ضلع نابرابرسه زاویه نابرابربدون تقارن

🎨 [تصویر انواع مثلث با مشخصات]

💡 نکات کاربردی:

  1. در مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع همان ساق عمود بر قاعده است
  2. برای محاسبه مساحت مثلث مختلف‌الاضلاع، قانون هرون دقیق‌تر است
  3. مثلث متساوی‌الاضلاع حالت خاصی از متساوی‌الساقین است

🔷 ذوزنقه (Trapezoid)

📌 تعریف و ویژگی‌ها

ذوزنقه چهارضلعی است که:

  • فقط دو ضلع موازی دارد (قاعده بزرگ و کوچک)
  • دو ضلع غیرموازی را ساق‌های ذوزنقه می‌نامند
  • ارتفاع: فاصله عمودی بین دو قاعده موازی

📏 فرمول‌های محاسبه

پارامترفرمولنمادها
مساحت½ × ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)A = ½h(a+b)
محیطمجموع چهار ضلعP = a+b+c+d

🔢 مثال محاسبه:
ذوزنقه با:

  • قاعده بزرگ (a) = 8cm
  • قاعده کوچک (b) = 5cm
  • ارتفاع (h) = 4cm
  • ساق‌ها (c,d) = 3cm و 4cm
مساحت = ½ × 4 × (8+5) = 26cm²
محیط = 8+5+3+4 = 20cm

🎯 انواع ذوزنقه

  1. ذوزنقه متساوی‌الساقین:
  • ساق‌های برابر
  • زوایای مجاور هر قاعده برابر
  1. ذوزنقه قائم‌الزاویه:
  • یک زاویه 90 درجه
  1. ذوزنقه مختلف‌الاضلاع:
  • ساق‌های نابرابر

🔶 لوزی (Rhombus)

📌 تعریف و ویژگی‌ها

لوزی چهارضلعی است که:

  • چهار ضلع برابر دارد
  • اضلاع مقابل موازیند
  • قطرها عمود بر هم و یکدیگر را نصف می‌کنند
  • زوایای مقابل برابرند

📏 فرمول‌های محاسبه

پارامترفرمولنمادها
مساحت½ × حاصلضرب قطرهاA = ½(d₁×d₂)
محیط4 × طول یک ضلعP = 4a

🔢 مثال محاسبه:
لوزی با:

  • قطرها = 6cm و 8cm
  • ضلع = 5cm
مساحت = ½ × 6 × 8 = 24cm²
محیط = 4 × 5 = 20cm

💡 نکات ویژه

  1. مربع نوع خاصی از لوزی است که زوایای قائمه دارد
  2. هر لوزی یک متوازی‌الاضلاع است
  3. قطرهای لوزی نیمساز زوایای آن هستند

📊 جدول مقایسه‌ای

ویژگیذوزنقهلوزی
اضلاع موازی2 ضلع2 جفت
تمام اضلاعنابرابربرابر
قطرهاعمود منصف
تقارنمحدود2 محور

🎨 [تصویر ذوزنقه و لوزی با مشخصات]

🔍 کاربردها:

  • طراحی جواهرات (لوزی)
  • معماری سقف‌ها (ذوزنقه)
  • علائم راهنمایی و رانندگی

🔷 متوازی‌الاضلاع (Parallelogram)

📌 تعریف و ویژگی‌های کلیدی

متوازی‌الاضلاع چهارضلعی با این ویژگی‌هاست:

  • اضلاع مقابل موازی و هم‌طول
  • زوایای مقابل برابر
  • قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند
  • مجموع زوایای مجاور ۱۸۰ درجه

🔶 انواع خاص

  1. مربع:
  • تمام اضلاع و زوایا برابر
  • قطرها برابر و عمود
  1. مستطیل:
  • زوایای ۹۰ درجه
  • قطرها برابر
  1. لوزی:
  • تمام اضلاع برابر
  • قطرها عمود

📏 فرمول‌های محاسبه

پارامترفرمولنمادها
مساحتقاعده × ارتفاعA = b × h
محیط۲ × (ضلع۱ + ضلع۲)P = 2(a + b)

🔢 مثال:
متوازی‌الاضلاع با:

  • قاعده = ۶cm
  • ارتفاع = ۴cm
  • ضلع مجاور = ۵cm
مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴cm²  
محیط = ۲ × (۶ + ۵) = ۲۲cm

🔶 چندضلعی‌های منتظم (Regular Polygons)

📌 تعریف و ویژگی‌ها

چندضلعی‌ای که:

  • تمام اضلاع و زوایا برابر
  • متقارن محوری و مرکزی
  • دارای آپوتم (فاصله مرکز تا ضلع)

🔢 انواع رایج

نامتعداد اضلاع
مثلث متساوی‌الاضلاع۳
مربع۴
پنج‌ضلعی منتظم۵
شش‌ضلعی منتظم۶

📏 فرمول‌های محاسبه

پارامترفرمولنمادها
محیطتعداد اضلاع × طول ضلعP = n × s
مساحت(محیط × آپوتم)/۲A = (P × a)/۲

مثال:
شش‌ضلعی منتظم با:

  • ضلع = ۵cm
  • آپوتم ≈ ۴.۳۳cm
محیط = ۶ × ۵ = ۳۰cm  
مساحت = (۳۰ × ۴.۳۳)/۲ ≈ ۶۵cm²

📊 مقایسه اشکال

ویژگیمتوازی‌الاضلاعچندضلعی منتظم
اضلاعدو جفت برابرهمه برابر
زوایادو جفت برابرهمه برابر
تقارنمرکزیمحوری+مرکزی

🎨 [تصویر دیاگرام اشکال با فرمول‌ها]

💡 نکات طلایی:

  1. هر مستطیل، مربع و لوزی متوازی‌الاضلاع است
  2. در چندضلعی‌ها، هرچه تعداد اضلاع بیشتر شود به دایره نزدیک‌تر می‌شود
  3. آپوتم با فرمول a = s/(2tan(180°/n)) محاسبه می‌شود

دیاگرام اشکال هندسی دو  بعدی - مساحت و محیط اشکال هندسی
دیاگرام اشکال هندسی دو بعدی – مساحت و محیط اشکال هندسی

ادامه محیط و مساحت اشکال هندسی ( سه بعدی یا فضایی )


بازگشت به صفخه اصلی

👁️ بازدید 1404: 48

نوشته‌های مشابه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *