محیط و مساحت اشکال هندسی
محیط و مساحت اشکال هندسی در مبحث هندسه است و هندسه خود زیر مجموعه درس ریاضیات میباشد .
در این درس به مباحث و موضوعات زیر پرداخته میشود .
- تعریف اشکال هندسی
- محیط اشکال هندسی
- مساحت اشکال هندسی
- حجم اشکال
نکته : در فرمول های زیر * نماد ضرب و / نماد تفسیم است
انواع اشکال هندسی
- اشکال هندسی دوبعدی یا مسطح
- اشکال هندسی سه بعدی یا فضایی
تفاوت بین نقطه، خط، صفحه(برای اجسام دو بعدی ) و جسم فضایی (برای اجسام سه بعدی )
- نقطه، بدون بعد است و تنها یک موقعیت در محور مختصات است.
- خط، تنها یک بعد دارد یعنی برای خط طول و عرض معنا ندارد .
- صفحه، دوبعدی است و اجسام دو بعدی بر روی صفحه ای تخت و بدون ضخامت قرار می گیرند .
- جسم فضایی، سه‌بُعدی است و دارای طول ، عرض و عمق (ارتفاع ) می باشد .
اشکال هندسی دو بعدی
تعریف اشکال هندسی دو بعدی :
اشکال هندسی دو بعدی به اشکالی گفته می شود که داری طول و عرض هستند .
نکته : شکلهای هندسی تخت یا دو بعدی بر روی صفحه قرار میگیرد که معمولا ضخامتی ندارد .
اشکال هندسی دو بعدی شامل موارد زیر هستند :
- مربع
- مستطیل
- دایره
- بیضی
- مثلث
- ذوزنقه
- لوزی
- متوازی الاضلاع
- چند ضلعی
تعریف مساحت و محیط اشکال هندسی
محیط چیست ؟
محیط به اندازه دور و اطراف اشکال هندسی گفته میشود .
مساحت چیست ؟
مساحت به اندازه درون و ناحیه داخل اشکال گفته میشود .
محیط و مساحت اشکال هندسی دو بعدی
1 ) مربع
تعریف مربع :
مربع یک چهارضلعی است که اضلاعش با هم برابرند و هر زاویه‌اش ۹۰ درجه است.
الف ) مساحت مـــربع
یـــک ضلع * خـــودش
ب ) محیــط مـــربــــع
4 * یک ضلع
2 ) مستطیل :
تعریف مستطیل :
مستطیل ( Rectangle ) یک چهارضلعی مسطح و دو بعدی است که دارای دو جفت ضلع برابر است .
هر چهار زاویه داخلی آن قائمه و ۹۰ درجه هستند.
مساحت مسـتطیـــــــل :
طـول * عـرض
محیط مستطیل :
2 * ( طول + عرض)
3 ) دایره :
تعریف دایره
به شکل هندسی ای که همه نقاط آن فاصله یکسانی از یک نقطه مرکزی (مرکز یا Center) دارند، دایره یا Circle گفته میشود. در دایره فقط نقاط مرزی را داریم
شعاع : فاصله نقاط مرزی از مرکز است که اصطلاحا شعاع دایره (Radius) گفته میشود.
قطر : فاصله بین دو نقطه مرزی مقابل هم را قطر (Diameter) می‌گویند، اندازه قطر دایره همیشه 2 برابر شعاع است.
محیط دایره
فرمول محاسبه محیط دایره به صورت زیر است .
3.14*قطر=محیط یا C=πd
- c: محیط دایره
- π: عدد پی 3/14
- d: قطر دایره`
محاسبه محیط دایره با شعاع :
شعاع * عدد پی * 2 = محیط دایره *** یا *** C=2πr
- C: محیط دایره
- π: عدد پی 3.14
- r: شعاع دایره
مساحت دایره
فرمول محاسبه مساحت دایره به صورت زیر است .
شعاع* شعاع * عدد پی = مساحت دایره *** یا *** A=π×r2
- A: مساحت دایره
- π: عدد پی 3.14
- r: شعاع دایره
4 ) بیضی
تعریف بیضی : نوعی گردی است که قطرها و شعاعهای آن برابر نیست.
بیضی دارای یک قطر بزرگ و یک قطر کوچک است .
مساحت بیضی
(نصف قطر بزرگ * نصف قطر کوچک ) *3/14
5 ) مثلث
تعریف مثلث : به شکلی مسطح گفته میشود که :
- سه ضلع داشته باشد و یک شکل بسته را بوجود آورد.
- ضلع های مثلث نیز خطوط صاف هستند.
انواع مثلث :
مثلث‌ها به چهار دسته‌ی مختلف تقسیم می‌شوند: مثلث‌های متساوی الساقین، مثلث‌های متساوی الاضلاع و مثلث‌های مختلف الاضلاع و قاِئم الزاویه
مثلث‌های متساوی الساقین دو ضلع مساوی و دو زاویه‌ی برابر دارند . مثلث‌های متساوی الاضلاع سه ضلع مساوی دارند و زوایای آن‌ها نیز مساوی هستند. اما مثلث‌های مختلف الاضلاع هیچ یک از ضلع‌هایشان مساوی نیست و همچنین زوایایشان نیز مختلف از هم هستند.
مثلث قائم الزاویه، مثلثی است که دارای یک زاویه ۹۰ درجه است. این مثلث دارای دو ضلع کوتاهتر که به طور عمومی به عنوان “اضلاع کوتاه” شناخته می‌شوند و یک ضلع بلندتر که به عنوان “ضلع بلند” شناخته میشود. یکی از خصوصیات مهم مثلث قائم الزاویه این است که ضلع بلند آن، برابر با مجموع مربعات اضلاع کوتاهتر است (قانون پیتاگوراس). این مثلث در بسیاری از مسائل هندسی و نرم‌افزارهای کاربردی مورد استفاده قرار میگیرد.
تعریف مثلث متساوی الاضلاع :مثلث‌های متساوی الاضلاع سه ضلع مساوی دارند و زوایای آن‌ها نیز مساوی هستند.
مساحت مثلث متساوی الاضلاع
2/ ( قاعده * ارتفاع )
محیط مثلث متساوی الاضلاع
3 * یک ضلع
تعریف مساحت مثلث متساوی الساقین :مثلث‌های متساوی الساقین دو ضلع مساوی و دو زاویه‌ی برابر دارند
مساحت مثلث متساوی الساقین
2/ ( قاعده * ارتفاع )
محیط مثلث متساوی الساقین
مجموع سه ضلع
محیط مثلث متساوی الساقین : مثلثی است که دارای یک زاویه ۹۰ درجه است. این مثلث دارای دو ضلع کوتاهتر که به طور عمومی به عنوان “اضلاع کوتاه” شناخته می‌شوند و یک ضلع بلندتر که به عنوان “ضلع بلند” شناخته میشود.
مثلث قائم الزاویه
تعریف مثلث قائم الزاویه: مثلثی است که دارای یک زاویه ۹۰ درجه است. این مثلث دارای دو ضلع کوتاهتر که به طور عمومی به عنوان “اضلاع کوتاه” شناخته می‌شوند و یک ضلع بلندتر که به عنوان “ضلع بلند” شناخته میشود
مساحت مثلث قائم الزاویه
2/ ( قاعده * ارتفاع )
محیط مثلث قائم الزاویه
مجموع سه ضلع
6 ) ذوزنقه
تعریف ذوزنقه : ذوزنقه یک چهارضلعی است که فقط دو ضلع آن با هم موازی هستند.
مساحت ذوزنقه
نصف ارتفاع * ( قاعده بزرگ + قاعده کوچک )
محیط ذوزنقه
مجموع چهار ضلع
7 ) لوزی :
تعریف لوزی : لوزی متوازی الاضلاعی است که اضلاع آن باهم مساوی باشند .
در تعریف لوزی به نکات زیر توجه کنید :
- مربع نوعی لوزی است بنابراین خاصیت لوزی را به ارث می برد .
- قطرهای لوزی بر یکدیگر عمود می باشند
مساحت لوزی
2/ ( قطر بزرگ * قطر کوچک )
محیط لوزی
4 * یک ضلع
8 ) متوازی الاضلاع
تعریف متوازی الاضلاع : متوازی الاضلاع یک نوع چهار ضلعی است که اضلاع روبه روی آن باهم موازی می باشد .
اشکال زیر نوعی متوازی الاضلاع می باشند :
- مربع
- مستطیل
- لوزی
مساحت متوازی الاضلاع
قاعده * ارتفاع
محیط متوازی الاضلاع
2 * مجموع دو ضلع متوالی
9 ) چند ضلعی منتظم
تعریف چند ضلعی منتظم : چند ضلعی منتظم به چند ضلعی گفته میشود که :
- تمام ضلع‌های آن باهم برابرند .
- زاویه‌های چند ضلعی منتظم با هم برابرند .
محیط چند ضلعی منتظم
طول یک ضلع * تعداد اضلاعش
ب ) محیط و مساحت اشکال هندسی ( سه بعدی یا فضایی )
1 ) استوانه
مقاله محیط و مساحت اشکال هندسی را با موضوع استوانه پیگیری میکنیم و ابتدا تعریف استوانه
تعریف استوانه :استوانه یک شکل هندسی سه بعدی است و در دو سر استوانه دو دایرۀ موازی یکدیگر قرار دارد.
حجم استوانه
مساحت قاعده استوانه A و ارتفاع h است . اندازه حجم استوانه برابر است با :
V=Ah
حجم استوانه به عبارت فارسی
مساحت قاعده * ارتفاع
مساحت جانبی استوانه
محیط قاعده * ارتفاع
سطح کل استوانه
مساحت دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع * محیط قاعده )
2 ) کره
کره یک شکل هندسی فضایی است و در بحث محیط و مساحت اشکال هندسی بررسی میشود
تعریف کره :شکل هندسی کره، یک شیء سه‌بعدی است که به شکل تقریباً کاملی از یک توپ شناخته میشود. یک کره دارای یک منحنی کامل به نام دایره است که هر نقطه از این دایره با مرکز کره در فاصله‌ی یکسانی قرار دارد. کره دارای سه عنصر اساسی، یعنی قطر، شعاع و مرکز است. قطر، بزرگترین فاصله‌ی ممکن بین دو نقطه روی سطح کره است و شعاع، نصف قطر است. همچنین، مرکز کره، مرکز عینی است که در برابر هر نقطه روی سطح کره سمت راست قرار میگیرد. کره‌ها در بسیاری از علوم ریاضی، فیزیک و مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند.
مساحت کره
شعاع به توان دو *3/14 * 4
حجم کره
شعاع به توان سه * 3/14 * چهار سوم
3 ) مکعب مستطیل
تعریف مکعب مستطیل : مکعب مستطیل، یک شکل سه بعدی است که شامل 6 صفحه مستطیلی متقابل است. همهٔ لبه‌های یک مکعب یکسان طول دارند، در حالیکه در مستطیل، دو ضلع مجاور آن برابر هستند و دو ضلع دیگر نیز برابر با هم هستند. ارتفاع، عرض و طول یک مستطیل می‌توانند ابعاد مستطیل باشند. در مقابل، یک مکعب سه ابعاد برابر دارد. مکعب مستطیل در بسیاری از مسائل هندسی و نرم‌افزارهای کاربردی مورد استفاده قرار می‌گیرند، از جمله در محاسبات حجم و مساحت سطح برای محاسبهٔ مساحت و حجم اشیاء مختلف.
حجم مکعب مستطیل
طـول * عـرض * ارتفاع
4 ) مکعب مربع
تعریف مکعب مربع : مکعب مربع، یک شکل هندسی سه بعدی است که شامل 6 صفحه مربعی متقابل است. همهٔ لبه‌های یک مکعب مربعی یکسان طول دارند و همچنین تمام زوایای آن نیز برابر با ۹۰ درجه هستند. به عبارت دیگر، یک مکعب مربع، یک مکعب با ابعاد مربعی است. مکعب مربع در بسیاری از مسائل هندسی و نرم‌افزارهای کاربردی مورد استفاده قرار میگیرد، از جمله در محاسبات حجم و مساحت سطح برای محاسبهٔ مساحت و حجم اشیاء مختلف.
حجم مکعب مربع
مساحت قاعده * ارتفاع
5 ) هرم
تعریف هرم : هرم، یک شکل هندسی سه بعدی است که اکثرا شامل یک پایه مستطیلی و چهار مثلث متساوی الساقین است که به یک نقطه مشترک یا سر هرم متصل می‌شوند. این نقطه، نقطهٔ رأس هرم نامیده میشود. قاعده هرم معمولا مستطیلی است و دو اضلاع آن موازی هستند، در حالیکه دو اضلاع دیگر برابر با هم هستند. ارتفاع هرم، فاصله از مرکز پایه تا راس هرم است. هرم‌ها در بسیاری از مسائل هندسی و نرم‌افزارهای کاربردی مورد استفاده قرار می‌گیرند، از جمله در محاسبات حجم و مساحت سطح برای محاسبهٔ مساحت و حجم اشیاء مختلف، همچنین در طراحی ساختمان‌ها و سازه‌های مختلف، مانند پیرامون‌های مجسمه‌ها، خانه‌ها و برج‌ها استفاده می‌شوند.
حجم هرم
ارتفاع هرم * مساحت قاعده ی هرم* یک سوم
6 ) منشور
مطلب بعدی محیط و مساحت اشکال هندسی ، منشور و تعاریف و محاسبات مربوط به آن است
تعریف منشور : منشور یک شکل هندسی سه‌بعدی است که دو پایه با شکل چند ضلعی دارد که به همراه دیواره‌های مستطیلی یا مستطیل شکل، به یک قله مشترک در بالای آن متصل میشود.
انواع منشور : بسته به شکل پایه، منشور می‌تواند منشور مستطیلی، منشور مثلثی، منشور پنج‌ضلعی و غیره باشد. محاسبه حجم منشور : باید مساحت پایه‌ی آن را در ارتفاع آن ضرب کرد و سپس حاصل را بر دو تقسیم کرد.
مساحت سطح بیرونی منشور : می‌توان با جمع مساحت هر یک از دیواره‌های مستطیلی یا مستطیلی شکل و مساحت پایه به دست آورد.
مساحت جانبی منشور
مجموع مساحت سطوح جانبی
مساحت کلی منشور
مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی
7 ) مخروط
تعریف مخروط : مخروط یک شکل هندسی سه‌بعدی است که دارای یک پایه دایره‌ای و دیواره‌ی مستقیمی است که به یک قله مشترک در بالا متصل میشود.
محاسبه حجم مخروط : باید مساحت پایه‌ی آن را در ارتفاع آن ضرب کرد و سپس نتیجه را بر 3 تقسیم کرد.
محاسبه مساحت سطح بیرونی مخروط : باید ابتدا خمیدگی آن را محاسبه کنید. مساحت سطح بیرونی مخروط برابر است با جمع مساحت دایره پایه و مساحت مثلثی که توسط خمیدگی و قاعده پایه برش خورده است.
در ادامه درس محیط و مساحت اشکال هندسی ویژگیهای مخروط را بررسی میکنیم .
بررسی خصوصیات مخروط
- راس مخروط : نقطه انتهایی آن است
- سطح مسطح مخروط : قاعده مخروط است
- مخروط یک پایه مسطح دارد
- مخروط دارای یک وجه منحنی شکل می باشد .
- مخروط دارای یک سطح منحنی است بنابراین چندوجهی محسوب نمی‌شود.
- مخروط نوعی مثلث است که با چرخاندن مثلث مخروط تشکیل میشود.
- این مثلث باید یک زاویه قائمه داشته باشد
- حول یکی از دو ضلع غیر وتری چرخش داده شود.
- ضلع وتر مثلث حول محور مخروط می‌چرخد
- در مخروط قائم فاصله همه نقاط روی قاعده دایره‌ای از رأس مخروط یکسان است.
- در مخروط قائم محور مخروط بر مركز قاعده عمود است.
انواع مخروط
و در انتهای مقاله محیط و مساحت اشکال هندسی انواع مخروط را داریم
مخروط ها بر دو نوع هستند :
- مخروط قائم و مخروط اریب
مساحت جانبی مخروط
3.14 * r* s
حجم مخروط
مساحت قاعده * ارتفاع * یک سوم
